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Matemática
Operações com Números Racionais


A adição (soma)

A adição é uma das quatro operações básicas da álgebra. Consiste em combinar dois números (chamados de termos, somandos ou parcelas) em um único número, a soma. Para se adicionar mais números, basta repetir a operação. Em termos mais simples, podemos pensar na operação de adição quando nosso desejo é juntar coisas que estão separadas.

Adição de Números Inteiros

Em um colégio, existem 3 turmas. A primeira turma tem 14 alunos, a segunda tem 19 alunos e a terceira tem 15 alunos. Quantos alunos o colégio possui?

Para determinarmos a quantidade de alunos que o colégio possui, basta juntarmos os alunos de todas as turmas. Isto é: somar a quantidade de alunos de cada turma.

14 + 19 + 15 = 48

Portanto, existem 48 alunos neste colégio.

Adição de Números Decimais

Em seu aniversário de 7 anos, Leonardo recebeu presentes em dinheiro. Seu pai lhe deu R$ 15,50, sua mãe R$ 7,65 e seu irmão R$ 8,28. Qual o valor total recebido por Leonardo?

Para calcularmos o valor total recebido por Leonardo, basta somarmos todos os valores recebidos.

Para realizar a adição de números decimais, as parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula.

Soma de Números Decimais.

A soma é feita por colunas, da direita para a esquerda. Caso a soma da coluna ultrapasse o valor 9 (nove), somente preencheremos o campo de resultado com o dígito direito do resultado obtido. Os dígitos restantes ficarão acima da coluna imediatamente à esquerda da coluna somada. No caso da coluna somada ser a última, todos os dígitos poderão ser incluídos no campo de resultado.

Neste exemplo, a primeira coluna a ser somada tem os seguintes valores: 0, 5 e 8. Portanto, 0 + 5 + 8 = 13. Como o resultado ultrapassou o valor 9, preencheremos o campo de resultado somente com o o dígito direito do resultado obtido (neste caso, o número 3). O dígito 1 será incluído acima da coluna imediatamente à esquerda da coluna calculada.

Soma de Números Decimais.

Na segunda coluna, os valores a serem somados incluem o número 1 colocado acima desta coluna. Portanto, 1 + 5 + 6 + 2 = 14. O mesmo procedimento é utilizado até calcularmos todas as colunas, obtendo-se assim a soma desejada.

Soma de Números Decimais.

Com este resultado, sabemos que o valor total recebido por Leonardo é R$ 31,43.

Adição de Números Fracionários

Podemos definir as frações como partes de um todo. Por exemplo, teremos Fração. de uma pizza se dividirmos esta pizza em 8 pedaços iguais e tomarmos 3 destas partes. Também definimos a fração como o resultado da divisão de dois números. Por exemplo, a fração Fração. é o resultado da divisão de 3 por 8.

Para somar frações que tenham o mesmo denominador, basta somar seus numeradores, como no exemplo abaixo:

Soma de Números Fracionários.

No caso de frações com denominadores diferentes, devemos seguir alguns passos. Para entendermos este processo, calcularemos a seguinte soma de frações:

Soma de Números Fracionários.

1.º Passo: Encontrar um número que seja múltiplo de todos os denominadores (para isto, podemos utilizar o M.M.C., que será detalhado em outro tópico). Este número será o novo denominador.

Podemos utilizar, neste exemplo, o número 30 como múltiplo de todos os denominadores.

2.º Passo: Representar todas as frações da adição com este mesmo denominador. Para representar cada fração com este novo denominador, basta dividirmos este novo denominador pelo numerador da fração, e então multiplicar o resultado obtido pelo numerador desta mesma fração, obtendo assim o novo numerador desta fração.

Nas frações de nosso exemplo as contas são: 30 ÷ 3 × 7 = 70, 30 ÷ 2 × 4 = 60 e 30 ÷ 5 × 4 = 24. Portanto, temos:

Soma de Números Fracionários.

Apenas simplificando, temos:

Soma de Números Fracionários.

Propriedades Importantes da Adição

1) Comutatividade: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação. Assim, se x + y = z, logo y + x = z.

2) Associatividade: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Assim, se (x + y) + z = w, logo x + (y + z) = w.

3) Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se x + y = z, logo x + y + 0 = z.

4) Fechamento: A soma de dois números naturais será sempre um número natural.

5) Anulação: A soma de qualquer número e o seu oposto é zero. Exemplo: 2 + (-2) = 0.


A subtração

A subtração pode ser considerada como o oposto da adição. Pensamos em subtração quando queremos tirar um valor de outro, para saber quanto restará. Por exemplo, temos:

a - b = c

Nesta subtração, temos que: a é o minuendo, b é o subtraendo e c é a diferença (ou resto).

Subtração de Números Inteiros

Um carteiro, de nome Francisco, deve entregar 100 correspondências por dia. Se em determinado dia, até seu almoço, Francisco entregar 63 correspondências, quantas ele deverá entregar após o almoço para atingir sua meta?

Para determinarmos a quantidade de correspondências que devem ser entregues após o almoço, devemos subtrair o número de correspondências já entregues. Ou seja, subtrair 63 de 100:

100 - 63 = 37

Portanto, Francisco deverá entregar 37 correspondências após o almoço.

Subtração de Números Decimais

Marta foi à feira e levou R$ 43,50. Durante suas compras, Marta gastou 31,23. Com quanto dinheiro Marta voltou para casa?

Para calcularmos o valor restante, basta subtrairmos o valor gasto do valor inicial.

Para realizar a subtração de números decimais, as parcelas são dispostas de modo que se tenha vírgula sobre vírgula.

Subtração de Números Decimais.

A subtração é feita por colunas, da direita para a esquerda, onde devemos retirar do dígito do minuendo o dígito do subtraendo. Caso o dígito do minuendo seja menor do que o dígito do subtraendo, devemos retirar uma unidade do dígito do minuendo imediatamente à esquerda do dígito que está sendo calculado, e somar 10 (dez) ao dígito do minuendo do cálculo atual.

Neste exemplo, a primeira coluna a ser subtraída apresenta os seguintes valores: 0 (dígito do minuendo) e 3 (dígito do subtraendo). Como o dígito do minuendo é menor que o dígito do subtraendo, precisamos retirar 1 (um) do dígito do minuendo à esquerda (neste caso, o dígito 5). Após isto, devemos somar 10 (dez) ao dígito do minuendo do cálculo atual. Portanto, o dígito 5 passa a valer 4, e o dígito 0 passa a valer 10. Veja abaixo como ficou a subtração após o cálculo da primeira coluna:

Subtração de Números Decimais.

O mesmo procedimento é utilizado até calcularmos todas as colunas, obtendo-se assim a subtração desejada.

Subtração de Números Decimais.

Com este resultado, sabemos que Marta voltou para casa com R$ 12,27.

Subtração de Números Fracionários

Para subtrair frações que tenham o mesmo denominador, basta subtrair seus numeradores, como no exemplo abaixo:

Subtração de Números Fracionários.

No caso de frações com denominadores diferentes, devemos seguir alguns passos. Para entendermos este processo, calcularemos a seguinte subtração de frações:

Subtração de Números Fracionários.

1.º Passo: Encontrar um número que seja múltiplo de todos os denominadores (para isto, podemos utilizar o M.M.C., que será detalhado em outro tópico). Este número será o novo denominador.

Podemos utilizar, neste exemplo, o número 30 como múltiplo de todos os denominadores.

2.º Passo: Representar todas as frações da subtração com este mesmo denominador. Para representar cada fração com este novo denominador, basta dividirmos este novo denominador pelo numerador da fração, e então multiplicar o resultado obtido pelo numerador desta mesma fração, obtendo assim o novo numerador desta fração.

Nas frações de nosso exemplo as contas são: 30 ÷ 15 × 13 = 26 e 30 ÷ 2 × 1 = 15. Portanto, temos:

Subtração de Números Fracionários.

Propriedades Importantes da Subtração

3) Elemento Neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é chamado "elemento neutro" da adição. Assim, x - 0 = x, y - 0 = y e x - 0 - y = x - y.

4) Fechamento: A diferença de dois números naturais será sempre um número natural.

5) Anulação: Quando o minuendo é igual ao subtraendo, a diferença será 0 (zero). Exemplo: 2 - 2 = 0.


A multiplicação

Em sua forma mais simples, a multiplicação nada mais é do que uma simples forma de se somar uma quantidade finita de números iguais. Na multiplicação cada número é chamado de fator, e o resultado da multiplicação é chamado de produto.

A multiplicação pode ser escrita de diversas formas, todas elas equivalentes: 3 × 4 = 3 . 4 = 3 * 4.

Multiplicação de Números Inteiros

A multiplicação de números inteiros pode ser considerada como uma soma de parcelas iguais. Por exemplo:

4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

O número 3 apareceu 4 vezes. Portanto, 4 vezes 3 é igual a 12. Da mesma forma temos:

3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Neste caso, o número 4 apareceu 3 vezes. Então, 3 vezes 4 é igual a 12.

Problema: Sabemos que Patrícia treina natação durante 45 horas a cada mês. Quantas horas Patrícia treina durante um ano?

Para determinarmos quantas horas de treinamento Patrícia realiza em um ano, devemos multiplicar a quantidade de horas de treinamento em um mês (15) pela quantidade de meses em um ano (12).

Temos, portanto, a seguinte multiplicação a ser realizada: 15 × 12.

Para realizarmos a multiplicação, montamos a conta da seguinte maneira:

Multiplicação de Números Inteiros.

Da direita para esquerda, devemos multiplicar cada dígito do segundo fator por todos os dígitos do primeiro fator.

A disposição do resultado se dará da direita para a esquerda, iniciando-se abaixo do dígito do segundo fator que está sendo calculado.

Caso a multiplicação de dois dígitos ultrapasse o valor 9 (nove), somente preencheremos o campo de resultado com o dígito direito do resultado obtido. Os dígitos restantes ficarão acima do dígito do primeiro fator, imediatamente à esquerda do dígito calculado. No caso do dígito da esquerda do primeiro fator, todos os dígitos poderão ser incluídos no campo de resultado.

Neste exemplo, temos a seguinte multiplicação: 2 × 5 = 10. Portanto, o 0 (zero) fica abaixo do 2, e o 1 fica acima do dígito 1 do primeiro fator.

Multiplicação de Números Inteiros.

Quando o dígito do primeiro fator estiver sendo multiplicado e tiver herdado um número acima, será feita a multiplicação normalmente, e após isto será somado o valor que estiver acima deste dígito, conforme mostra o exemplo abaixo, onde 2 × 1 + 1 = 3

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